五角星折法用长条纸折的（小折纸，有大历史——可以写入教材的“

如何把小方块折纸折成小星星折纸有很大的历史。——可以写进教科书 一把刀剪刀 更大精确五角星折法。

本文为“第三届数学文化征文比赛

小折纸，有大历史

——可以写入教材的“一刀剪”更大精确五角星折法

作者付伟和；工作编号038摘要:和；一把刀剪刀 五角星由来已久，笔者以为只有几十年的历史。在写作的过程中，发现这个关于五角星折纸的长篇故事可以加入娱乐数学的数学史。，早期的 单刀剪刀 五角星法不是角度不准就是产量低(非更大)。我花了三年时间创造了一个准确的，更大的和更少的步骤。一把刀剪刀 五角星法。在此基础上得出了一些非常有用的推论，如角度可以按36度分成五等份；折纸 角三等分 结合 折纸术解决古希腊三大几何问题。可以折叠成任意整数角度。

关键词:折纸，娱乐数学，一刀剪刀，五角星，36度，五胞胎，黄金比例，五角星，麻省理工学院，埃里克德梅因，在褶皱之间，马丁加德纳，G4G，折叠和切割，O E，博斯，山姆洛依德，哈里胡迪尼，贝特西罗斯，哈里胡迪尼。

一、早期五角星/五边形折纸的背景故事

2.1 “一刀剪”问题及Erik Demaine父子的解答

概念介绍:什么是a 单刀剪刀 ？

说到剪纸，大家应该都不陌生。就是先把纸折起来，然后用多把刀切开，切出一些特定的图案。也许剪纸包括 一把刀剪刀 。 折叠切割魔术 实际上是一个数学难题，你知道吗？

你拿出一张纸，随意折，但会是一个平面，然后用剪刀剪出一条直线，再把纸打开。你需要回答切割后会得到什么形状？ 这段话是由Erik Demaine(麻省理工学院历史上最年轻的教授)在折纸纪录片《折叠之间》(褶皱之间)中叙述的。他和你父亲马丁德梅因解决了这个问题。单刀剪刀 问题，并赢得了 麦克阿瑟奖学金。(该奖项被视为美国更高的跨学科奖项之一)。他们父子得出的结论是 单刀剪刀 ——可以折叠有限的次数，然后用另一把刀砍下去，可以得到任何图形，包括 五角星 。

图1:折纸纪录片《折叠之间》，埃里克德梅因本人及其出版的书籍。概念介绍: G4G是什么？G4G是加德纳聚会的缩写，是汤姆罗杰斯为了纪念美国有趣的数学大师马丁加德纳而创立的一个社团。每两年在国外举行一次纪念活动。参与者分享魔法、科学、谜题、解谜、智力游戏等各种话题，有兴趣者将各领域专家的分享录制成视频或汇编成册。马丁加德纳是埃里克德梅因的偶像。埃里克德梅因从小就喜欢拼图。他还担任G4G董事会主席多年，并为马丁加德纳编辑和出版了相关书籍。图Fig.2:会议讲座和马丁加德纳 的头。在第三本G4G会议文集里，P23发表了一篇由埃里克德梅因和他的儿子写的关于 一把刀和剪刀 。从下图可以看出，它的五角星并不是正方形能切割的更大的五角星。五角星即使碰到正方形的边缘，也不是更大的，因为它是关于正方形的中心线对称的；正方形能切割的更大五角星与正方形的一条对角线对称。读者可以自己思考其中的原因。图《献给一位数学魔术师》一书中的折刀法P232.2萨姆洛伊德 s书(包括中国传统折法)萨姆洛伊德介绍，他的之一种 是最早也是更好的 ，用53.5的长方形纸折，如下图。聪明的读者可以证明它折叠的角度是错的，而不是正好平分角度；而且一定比例的矩形纸并不通用。第二种 是中国 s传统的五角星折法，也有角度误差。图43360萨姆洛伊德 ；；引进的两种五角星形折叠 ；该书于1914年出版，第69页。图5: FW(作者)证明萨姆洛伊德 的书。2.3 五角星折法与逃脱大师哈里胡德尼及美国国旗 的关联,概念介绍:什么是O E会议？O E，全称是折纸科学数学与教育国际会议，中文翻译为折纸、科学、数学与教育国际会议。每四年举办一次，将吸引世界各地科学、数学、工程、教育、艺术等领域的高端人士参与交流、做报告、交论文、出版论文/书籍。可以说，O E是当今世界折纸跨界领域更高级别的会议。我知道的最近两届是2016年在日本举办的第六届O E6和2018年在牛津大学举办的第七届O E7。O E3论文集

了“一刀剪”五角星与Harry Houdini、Martin Gardner、Demaine父子，甚至美国国旗设计者Betsy Ross的关联。图6: O E3和O E5论文集中提到关于“一刀剪”五角星的起源和折法.Harry Houdini（1874-1926）是世界著名的魔术师，二十世纪最伟大的脱逃大师。1922年他出版了一本书Paper Magic描述一些折纸技巧，2000年被重印。图7: 2000年重印的Houdini书中记载了五角星的折法及笔者进行的验证.如果说五角星的折法能追溯到之一面美国国旗国旗的诞生时刻，那么至少距今已有200多年了。图8: 传说中之一面美国国旗 者Betsey Ross的五角星折法及笔者的验证.至此，我们分析了几个早期的“一刀剪”五角星折法，笔者作了验证，可见他们不是正方形所能裁的更大五角星，亦或折的角度不精确，有误差。那么，有没有能折出精确更大五角星的 呢？下面介绍一下笔者的 。二、FuWei（FW）的五角星/五边形折纸 2.1 正五边形折法2018年，因为一位折友的询问，笔者研究了正五边形、正七边形的折法，有幸想出更大且精确的 ，步骤也不多。被O E7大会副会长Mark Bolitho关注到，将这两种 刊登在当年2018年BOS（British Origami Society 英国折纸协会）Autumn 特刊Oxford Model Collection 上。图9: 2018 BOS Autumn 杂志收录了FW的更大精确正五和正七边形的折法.随后两年，笔者重新审核了正五边形折法，先后想出了近十种 ，出一种最精练的，随后将这种 引申出“一刀剪”五角星 。图10: FW想出的改进版更大、精确正五边形折法.图11: FW想出的更大、精确“一刀剪”五角星的 （步骤中包括折出36°及五等分角 ）.图12: FW想出的改进版更大、精确“一刀剪”五角星的 .2.2 黄金比例、正五边形、折36°与五等分角图13: 黄金比例、正五边形及36°函数值之间的关系.图14: FW的五等分角的证明（直角五等分＝折出18°）.2.3 利用古希腊三等分角折法与五等分角折法可折出任意整数角度 ※※由上一小节，我们可以得到36°角折法；在折纸中，45°角或30°角（参见图8）很容易得到；再利用三等分角 ，即可得到1°，从而可通过折纸得到任意整数角度。这应该是目前折纸中最简单精确的两种 了。（45°-°）/3/3=（°-°）/3/2=1° (1)图15: 阿部恒（日）的折纸三等分锐角的步骤及FW的三等分角的证明.图16: Jacques Justin折纸三等分钝角的步骤及FW的三等分角的证明.三、本文从一个大家司空见惯的五角星折纸说起，引发出一连串的知名学者、会议、机构，甚至数学史和人文历史，让笔者深刻体会了什么叫“见微知著”。学问无大小，重在“学”和“问”，善于思考和发现问题，挖掘事物本质规律。关于这个200多年历史的“一刀剪”五角星问题，笔者有幸接触并给出了自己的结论，虽然跨越几年的时间，但也学到很多东西。由于篇幅有限，还有些内容未能加入，比如从折出黄金比例可类比折出其他金属比例；由正五边形折纸可设计黄金比例相关的折纸作品等等。文中提到Martin Gardner是Erik Demaine的榜样，而Erik Demaine是笔者的榜样，可以说榜样的力量是不可估量的。在榜样的研究成果上开拓创新既是精神上对学术榜样的一种致敬，也是在科学研究上对所处领域的专研和发展，何尔而不为呢？这篇小文是我的研究，与君共享，希望你们喜欢。References【2020年马丁加德纳聚会主题分享傅薇——一刀剪更大正五边形-哔哩哔哩】https://b23.tv/eWWbVN【Erik Demaine的主页】http://erikdemaine.org/【(纪录片)折叠之间 Origami - Between The Folds【中配/原声】-哔哩哔哩】https://b23.tv/P377LC【G4G】https://www.gathering4gardner.org/category/g4gn-recaps/【BOS】http://colortreelimited.co.uk/product/2018-model-collection-autumn-ebook/【Betsy】https://www.ushistory.org/betsy/flagstar.html【Houdini】http://209.237.170.79/magos/books/paper2/41.html相关链接gtgt相聚于 ，相知因数学，相交为征文——第三届数学文化征文活动通知第三届数学文化征文比赛评委简介第二届数学文化征文比赛通知之一届数学文化征文活动文章集锦已发文章gtgt001 莱布尼茨、二进制和伏羲卦图002 美学视角下的数学教学 —— 读《数学的美与理》有感003 数学基础与黎曼猜想 ——《数学简史确定性的消失》读后思考004 数学与文化并重 知识与兴趣同行 ——“算筹记数”教学思考005 数学是多维度的艺术——读《数学家的眼光》有感006 从掷骰子到阿尔法狗趣谈概率007 中学数学中分类思想的教学与拓展008 守门的秘密009 探数学文化，启数学之美——以高中数学《割圆术》为例010 基于数学史视角的高中数学教学思考011 我是怎样读《几何原本》的012 相映成趣的两座数学桥013 HPM视角下的数学概念教学——“平面直角坐标系”教学设计014 极限定义新讲动态定义与静态定义015 把握思想 ，自主提升数学素养 ——读《让知识自然生长》有感016 读北大张顺燕教授《数学的源与流》的几点收获017 中国古代数学对“一带一路”沿线国家的影响018 数学阅读锦上添花，实践成果领航数坛新征程019 提高概率教学质量的几点思考020 温故建构新知 论证生成巧思 ——三角形的中位线定理的探究021 读《学好数学并不难》有感022 体验经典证法 渗透数学文化 ——以“勾股定理（之一课时）”教学为例023 数学文化 文化数学 ——融合数学文化的中考试题的品析与启示

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剪好的五角星怎么固定在折纸上 五角星用的是六角折纸技法吗