高数的基本公式大全图片（看老黄是怎么发现高数公式的，自学数学

高等数学中如何利用分部积分看老黄如何发现高等数学的公式，自学数学的新境界。

#标题创作挑战#

事实上，老黄在研究分部积分的过程中发现了三个公式

(1)x^ne^(ax)dx=(i=1-n+1)(-1)^(i-1)n!/((n-i+1)!a^i )x^(n-i+1)e^(ax)+C；

(2)x^ncos(ax+b)dx=(i=0-n)n!/((n-i)!a^(i+1))x^(n-i)sin(ax+b+i/2)+C；

(3)x^nsin(ax+b)dx=-(i=0-n)n!/((n-i)!a^(i+1))x^(n-i)cos(ax+b+i/2)+C.

随着学习和探索的深入，老黄一定会找到越来越多的配方。例如，在今天 s的探索，老黄找到了一个公式的线索，会在下一部作品中整理出来和大家分享。这里老黄主要说说发现它(孩子)的过程。

这次老黄探索的是代换积分法和分部积分法的结合。把它们结合起来，就可以求解大多数不定积分。，有时不使用替代积分法而直接使用分部积分是可行的。比如下面两个例子中的不定积分，可以用直接分部积分法求解，也可以结合代换积分法求解。

例1求x^3lnxdx.

一直接运用分部积分法

解1原积分=1/4lnxdx^4【加微分，因为幂函数的指数会增加，所以一般很少有人直接用这种 ，教材一般也不教这种 ，直接先换元素】

=1/4x^4lnx-1/4x^4dlnx[部分积分公式的应用]

=1/4x^4lnx-1/4x^3dx[使用dlnx=dx/x]

=1/4x^4lnx-x^4/16+C.

二换元积分法结合分部积分法

解2令t=lnx, 则x=e^t, dx=de^t=e^tdt.[之一类替代 ]

原积分=te^(4t)dt=1/4tde^(4t)=1/4te^(4t)-1/4e^(4t)dt

=1/4te^(4t)-1/16e^(4t)d(4t)【在这一步其实有u=4t的替换，所以熟练度就省略了。

=1/4te^(4t)-1/16e^(4t)+C=1/4x^4lnx-x^4/16+C.

例2求(lnx)^2dx.

解1原积分=x(lnx)^2-xd(lnx)^2=x(lnx)^2-2lnxdx

=x(lnx)^2-2(xlnx-xdlnx)

=x(lnx)^2-2xlnx+2dx=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C.【这个结果让老黄发现 x a (lnx) ndx可能存在不定积分公式】。

解2令t=lnx, 则x=e^t, dx=de^t=e^tdt.

原积分=t^2e^tdt[公式(1)交换后可直接应用]

=(i=1-3)(-1)^(i-1)2!/((3-i)!)t^(3-i)e^t+C [这种应用可以称为公式法]

=t^2e^t-2te^t+2e^t+C=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C.

做另一个练习求lnx/x^3 dx..

一个问题如何求不定积分x^a(lnx)^ndx, nN, a0..

关注老黄 的下一部作品，会有分享。，如果能自己推出来，老黄会更开心。

张宇强调高数必背八大定理，高数必背十大定理。