高中数学关于圆的解题技巧（高中与圆有关的最值问题视频）

y等于根号下1加x2的定义域是多少 粉丝提问的高中数学更大值问题，与圆相关，老黄用两种 解决

前两天粉丝提问了一道高中数学与圆相关的更大值问题，老黄到今天才有时间来解一解。当时只给他提供了解题的方向和粗略的思路，现在正好验证一下，老黄一开始的思路是否行得通。大家有兴趣也可以自己先解一解。

已知P(m,n)为圆C(x-1)^2+(y-1)^2=1上任意一点，则(n-1)/(m+1)的更大值为？

老黄一共设想了两种解法。先用代数法求解。

解法一0lt=nlt=2， 0lt=mlt=2，m≠-1【(x-1)^2+(y-1)^2=1是标准圆x^2+y^2=1向右、向上分别平移一个单位长度，可以得到圆上的点的坐标的取值范围，可以画图帮助理解】

记f(m)=[(n-1)/(m+1)]^2=(1-(m-1)^2)/(m+1)^2=(2m-m^2)/(m+1)^2【因为(n-1)/(m+1)的更大值明显大于0，所以当它的平方取得更大值时，也就取得它的更大值。这所以需要这么做，是因为这样比较容易消掉n】

当f#39(m)=[(2-2m)(m+1)^2-2(m+1)(2m-m^2)]/(m+1)^4=2(1-2m)/(m+1)^3=0时，m=1/2,

f(0)=0；f(1/2)=1/3 f(2)=0. 【比较驻点m=1/2的函数值，以及两个端点的函数值，其中更大的，就是f(m)的更大值】

所以(n-1)/(m+1)=根号3/3更大。

再用三角函数换元法试试。

解法二可记m=1+cosθ, n=1+sinθ. 【这是圆上的点最常用的换元法，这里m-1=cosθ, n-1=sinθ】.

y=(n-1)/(m+1)=sinθ/(cosθ+2), 【这里千万不要直接求导，否则可能会发生“灵异事件”】

ycosθ+2y=sinθ,

2y=sinθ-ycosθ=根号(1+y^2) sin(θ-a), tana=y.【这个地方可能有点难理解。这里sina=y/根号(1+y^2), cosa=1/根号(1+y^2)，提取根号(1+y^2)后，形成两种差的正弦公式】

2y/根号(1+y^2)=sin(θ-a)lt=1.

解得-根号3/3lt=ylt=根号3/3. 所以(n-1)/(m+1)=根号3/3更大。

您觉得哪种解法更好呢！

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