高等数学同济第七版导数与微分（高等数学第三章导数与微分）

sin4/5兀等于多少 数学笔记-同济第七版高数(上)-第二章-导数与微分-高阶导数

一、引言

f'(x)表示的是y对x的一阶导数，另一种写法为d(y)/dx

如果f'(x)还可导，那么可以再对f'(x)求导为f''(x)

可以表示为d(f'(x))/dx =gt d[d(y)/dx]/dx

还可以表示为d2(y)/dx2（注意两个2的位置不同，分子的2针对于“d”分母的2针对于“x”）

所以y''=f''(x)=d2y/dx2

那么如果f''(x)还可导，则

[f''(x)]'=y'''=f'''(x)=d3y/dx3

4阶及以上就不是撇号表示，改用数字，

如y对x的四阶导数y^(4)=f^(4)(x)=d^4(y)/dx^4

，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。

例1

y=(3x-2)^4

y'=4(3x-2)^3 3

y''=43(3x-2)^2 33

y'''=432(3x-2) 333

二、求高阶导数的

1、归纳法

例2y=sinx, 求y^(n)

y'=cosx, y''=-sinx, y'''=-cosx, y^(4)=sinx,可以转换为

y'=sin(x+π/2), y''=sin(x+2π/2), y'''=sin(x+3π/2), y^(4)=sin(x+4π/2)

即y^(n)=sin(x+nπ/2)

同理(cosx)^(n)=cos(x+nπ/2)

例3y=e^x sinx

y'=(sinx+cosx)e^x=√2e^x sin(x+π/4)

由归纳法

[e^x sinx]^(n)=(√2)^n e^x sin(x+nπ/4)

例4y=1/(2x+1)

y'=(-1)(2x+1)^(-2) 2

y''=(-1)(-2)(2x+1)^(-3) 22

......

y^(n)=(-1)^nn!(2x+1)^-(n+1) 2^n

推广式[1/(ax+b)]^(n)=[((-1^n)n!a^n)/(ax+b)^(n+1)]

例5y=ln(3x+2)，求y^(n)，（ngt=1）

y'=3/(3x+2)

与例4中推广式1/(ax+b)类似

所以y^(n)=3[((-1^n)(n-1)!3^(n-1))/(3x+2)^n]

2、公式法

（1）(uv)'=u'v+uv'

（2）(uv)''=(u'v+uv')=u''v+u'v'+u'v'+uv''=u''v+2u'v'+uv''

（3）莱布尼茨公式(uv)^(n)=Cn^0 u^(n)v+Cn^1 u^(n-1)v'+...+Cn^n u v^(n)

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