三角形的常见类型难题求最值（三角形内动态线段比最值的求解技巧

最容易GC的方式图 三角形内动态线段比最值的求解技巧“三例说”

都知道，平面几何的动态问题中往往会有最值存在，由于动态的多样性和复杂性，随之产生的最值问题丰富多采。常有一种求三角形内动态线段比的最值问题，其的求解有多种技巧，现举三例一起来说说

【例一】（如图）在△ADC中，∠ACD=60o，E、B分别是边AD、AC上的点，若△BED为等边三角形，求AB/BC的最小值

【分析】（应用“瓜豆”思维转移线段造相似）

（1）以CD为边（如图）作正三角形△CDF，由∠C=60o，∴点F必落在边AC上，连EF，易证△DEF≌△DBC，∴BC=EF，∠DFE=∠C=60o

（2）易证△ABE∽△EBF，∴BE2=BF.BA，即BA=BE2/BF

（3）由AB/BC=AB/EF=BE2/BF.EF，在△BEF中，根据余弦定理得BE2=BF2＋EF2＋BF.EF，则AB/BC=BF2＋EF2＋BF.EF/BF.EF，即AB/BC≥3BF.EF/BF.EF=3，（当且BF=EF时）所以AB/BC的最小值为3

【例二】（如图）D是正三角形△ABC内一点，且∠BDC=120o，求AD/BD的最小值

【分析】（由120o作外接圆造相似显线段比）

（1）如图设BC=a，已知得∠1＋∠2=60o，∠1＋∠3=60o，∴∠2=∠3，作△BCD的外接圆⊙O，连OB、OC，则∠BOC=120o，设半径为r，∴OB=OC=r=√3a/3

（2）延长AD交圆于点E，连BE，∠E=∠2=∠3，易得△ABD∽△AEB，∴AD/BD=AB/BE=a/BE

（3）当BE取更大时，AD/BD取最小值，当弦BE为直径时取更大，此时BE=2r=2√3a/3

（4）所以AD/BD的最小值为√3/2

（若将△BCD绕点C顺转60o求解亦简捷）

【例三】（如图）△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，∠A=90o，点D、E分别为边AB、AC上的动点，且满足BD=AE，连DE、CD，求线段DE/CD的最小值

【分析】（造全等移线段利用三边关系）

（1）过点E作DE的垂线，过点C作EC的垂线两线交于点F（如图），即EF⊥DE，FC⊥AC

（2）由AB=AC，AE=BD，∴AD=CE，则有Rt△ADE≌Rt△CEF，∴DE=EF=2a（设）

（3）取EF中点G，连CG、DG，则CG=a，DG=√（DE2＋EG2=√[（2a）2＋a2]=√5a

（4）因CD≤GD＋GC=（√5＋1）a

（5）所以DE/CD=2a/CD≥2a/（√5＋1）a，所以DE/CD最小值为（√5－1）/2

以上三例之分析，“道听度说”供参考。

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