高中数学圆与隐形线问题解题技巧（数学圆动点问题技巧）

隐形圆的最值问题 2020年中考数学难点，米勒问题，构造隐形圆解决更大角问题

米勒问题，是指1471年德国数学家米勒(Joannes miiller)向诺德尔(Christion roder)教授提出的有趣问题。这个问题，为我们解决更大角提供了解题思路。

要理解米勒问题，要清楚圆周角、圆内角和圆外角的大小关系。

同弧所用的圆周角

在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，即∠ACB=∠ADB，那么如果不是圆周角呢？即当点D不在圆上，在圆外或圆内时，这些角与圆周角的大小关系是什么呢？

圆内角与圆周角的大小关系

如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆内，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图所示

∵∠BDC=∠BFC+∠FBD，

∴∠BDC＞∠BFC，

又∵∠A=∠BFC，

∴∠A＜∠BDC；

结论对同一个圆而言，圆内角＞圆周角

圆外角与圆周角的大小关系

如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

设CD交⊙O于E，连接BE，如图所示

∵∠BEC=∠BDC+∠DBE，

∴∠BEC＞∠BDC，

∵∠A=∠BEC，

∴∠A＞∠BDC；

结论对同一个圆而言，圆外角＜圆周角

构造隐形圆

由此可以发现，当圆与该直线相切时，角度更大，可以构造隐形圆，该圆满足的特征为（1）过点A、B；（2）与直线相切。即AB为圆的一条弦，圆心在AB的垂直平分线上。

例题（2019·烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝6/x（x＞0）经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数更大？（请直接写出结果）

分析（1）由题意可得，点D与点C的纵坐标相同，点D又在反比例函数图像上，由此可求出点D的坐标，将点D与点A代入解析式，即可求出抛物线解析式。

（2）几何最值问题，两定两动问题，作M关于y轴的对称点M#39，作D关于x轴的对称点D#39，连接M#39D#39与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M#39D#39+MD的长。

（3）更大角问题，构造隐形圆。

思路一三角函数法

思路二构造隐形圆

思路三切割线定理

该类题目如果之一次遇到可能会没有什么思路，难度比较大。

数学圆动点问题技巧 高中数学隐圆问题的4种模型