函数一致连续性是什么意思（连续和一致连续的区别与联系）

高数，连续区间怎么求 一致连续函数的和差也一直连续吗？

#头条创作挑战赛#

相信很多人对一致连续的内涵仍无法彻底地理解。包括老黄其实也处于一知半解的状态。怎么样才能真正理解一致连续的内涵呢？那就要通过探究一致连续的相关性质，来加深对他的理解，以求达到最终的领悟了。

一致连续函数其实也有许多性质的，比如它们的和差积商有什么规律？明确这些性质，对我们理解一致连续函数会有所帮助。下面老黄就先来和大家一起探究一下一致连续函数的和差规律。

设函数f和g都在区间I上一致连续，证明f±g在I上一致连续.

一致连续函数在它们的公共定义域上，和差仍一致连续，这个定义域并不需要区分开区间和闭区间，甚至可以是无限区间。在高数问题的探究中，经常要注意区间的开闭情况，以及有界无界等情形的。下面利用一致连续性的定义证明

证对任给的εgt0, 存在δ1gt0, δ2gt0, 有x’,x”∈I，【习惯上，我们会为f,g各取一个δ，但其实取同一个δ也是可以的，因为两个δ必定会存在一个最小值的】

当|x’-x”|ltδ1时，|f(x’)-f(x”)|ltε/2；当|x’-x”|ltδ2，|g(x’)-g(x”)|ltε/2；【这是一致连续性的定义，也是它的充要条件，即对于任给的正数ε，无论它有多小，总能找到某一个正数δ，使得距离小于δ的两个自变量，对应的函数距离小于ε。这里取ε/2，其本质仍是ε，这是高数的一种“强迫症”，目的是推出目标不等式中包含#34ltε#34】

∴当|x’-x”|ltδ=min{δ1,δ2}时，【这个最小值是一定存在的，所以可以一开头就取δ】

|[f(x’)±g(x’)]-[f(x”)±g(x”)]|≤|f(x’)-f(x”)|+|g(x’)-g(x”)|ltε.【绝对值的基本不等式，在高数问题中有广泛的应用。】

∴f±g在I上一致连续.【这就满足函数和差一致连续的定义，从而得证】

这个性质的证明相当简单。下一篇图文作品老黄将会跟大家一起探究一致连续函数的积是否仍一致连续。有兴趣的小伙伴们可以先行探究。

连续和一致连续的区别与联系 函数一致连续性