n个自然数相乘公式 RGB叠三角法简易证明平方数求和公式\u0026自然数乘等差数求和公式

在做平方数求和“12+22+32+···+n2”时，如果有可(tao)爱(yan)的小学生问“n(n+1)(2n+1)/6”这个公式怎么来的，你有没有什么办法给他讲懂呢？

证明 倒是很多——高次相邻项相减累加法、Abel恒等变换、四棱锥立方体法、待定系数法、扰动法……

但作为一名小学数学老师，⑨老师和众多老师一样，认为“踢三角”才是最最最适合小学生的证明 .

该 简单直观，并能让小学生充分体会到“数形结合”的奇妙……

看到这，你可能已经预判到⑨老师要画三角形并开始讲那个“踢一脚”“再踢一脚”的“踢三角大法”了——

非也！

不必踢两脚，叠起来更好——

——确认过眼神，这是干货文~

以下是⑨老师的原创内容把“踢三角”改造为“RGB叠三角”！

“RGB叠三角”其实是“高斯倒序相加求和法”的进阶版.

既然我们愿意不厌其烦地给孩子讲“高斯小时候巧妙地计算从1加到100”的故事，那就更应该“好人做到底”.

有关“RGB叠三角”的正确学习方式应分为以下三阶段——

①高斯求和→②平方数求和→③自然数乘等差数求和.

○△△△△○○△△△○○○△△○○○○△

(1+2+3+4)+(4+3+2+1)=(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)

以上是高斯求和将原式copy一份然后倒序相加，会看到“项项相等”的奇妙现象！

而平方数求和“12+22+32+42”可以认为是“1×1+2×2+3×3+4×4”，即——

1223334444

如果还是模仿高斯求和将原式copy一份然后倒序相加——

14444223333332244441

(⊙o⊙)…呃~

以上每行并不相等……失败.

这是因为平方数求和的第n项“n2”随序号n呈现平方式增加，变得“头更轻脚更重”.

既然复制一份倒序相加不再有效，那就超级加倍——复制两份，并把——

1223334444

写在三张透明的三角形塑料片上——

一张红色半透明塑料片名为R，一张绿色半透明塑料片名为G，一张蓝色半透明塑料片名为B，将R、G、B上面的三角形数表的“1”分别朝三个不同方向并上下重叠在一起——

就会出现高斯求和中“项项相等”的现象——

R、G、B重叠后三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+4+4”.

以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——

R+G+B=(1+4+4)×(1+2+3+4)

又因为R=G=B=12+22+32+42，所以——

12+22+32+42=(1+4+4)×(1+2+3+4)/3=(1+4×2)×[(1+4)×4/2]/3=(1+4×2)×4×(4+1)/6

如果把上式中的“4”推广到“n”，则有——

12+22+32+···+n2=(1+2n)n(n+1)/6=n(n+1)(2n+1)/6

以上是平方数求和公式的“RGB叠三角”证明法.

还没完，接下来我们继续介绍——

“自然数乘等差数”的求和 .

（自然数乘等差数即自然数列1~n与等差数列A1~An序号相等的每一项相乘再求和.）

设R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，则有——

仍然会出现高斯求和中“项项相等”的现象——

R、G、B重叠后的三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+7+7”.

以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——

R+G+B=(1+7+7)×(1+2+3+4)

又因为R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，所以——

1×1+2×3+3×5+4×7=(1+7+7)×(1+2+3+4)/3=(1+7×2)×[(1+4)×4/2]/3=(1+7×2)×4×(4+1)/6

如果把上式中的“4”推广到“n”，另设“An”为等差数列第n项，设“A1”为等差数列首项，则有——

1×1+2×3+3×5+···+n×An=(A1+2An)n(n+1)/6=n(n+1)(2An+A1)/6

以上就是“自然数乘等差数”的求和公式，特别地，当An=n时，以上公式退化为——

n(n+1)(2n+1)/6

没错，平方数求和公式其实是“自然数乘等差数”求和公式的特殊情况.

⑨老师想说的是，数学证明往往是给看似不相关的两样东西画上等号——这是非常需要灵感的.

灵感通常被描述为一瞬间打开了纵观全局的上帝视角.

这种视角，往往是把概念、数据、符号、算式图形化、结构化、等量转化——

这也是为什么⑨老师推荐大家多多去体会“数形结合”，比如金字塔数求和——

1+2+3+4+3+2+1=？

一个4×4的点阵，从正常角度来看它就是4行4列即“4+4+4+4”，而按照斜线来求和却是“1+2+3+4+3+2+1”，于是我们把“同一数量的两种不同表达用等号连接”

1+2+3+4+3+2+1=4×4

要知道，数学最重要的就是各种等式，而神奇公式等号连接的两侧，几乎都是我们认为风马牛不相及的东西——

e^(πi)=-1

等差平方求和数学公式 平方数列求和公式图解