揭秘你不知道的数学知识（五大蒙蔽你的数学假象，我最佩服第3个

gcd是什么意思？我很佩服蒙蔽你的五种数学错觉中的第三种！

上面的超级数学建模可以关注一下。

传播数学干货，学会理性思考。

在上的因式分解一

注意到

…

似乎有可能对于所有的正整数n，将整数n因式分解成不可约多项式的乘积后，系数都是1或者-1，所以不难验证对于1-20.之间的n是正确的

据说有人曾经想通了，但找不到反例，猜想大胆地提出。

对于所有正整数n，,系数是1或因式分解后-1！

反例

当n=105时，的分解公式为

有两个-2.

注

在数学中，n次分圆多项式是指唯一的n次整数系数的不可约多项式，所以它是的因子，是的因子，k是小于n的任意正整数.可以证明的是

然后是因式分解

也就是说，因式分解得到的所有因子都是分圆多项式。

为什么会有n=105的反例？

来看看分圆多项式.吧

它们的系数都是-1，1，这种情况一直持续到n=104。

还有n=105:

所以当我们分解时，因素导致反例。

关于如何计算n次分圆多项式的中间系数，目前还没有明确的公式，有一个定理

若n的质因数分解中奇素数个数不超过2,那么

的系数只能为1或-1(或0),从而

在上因式分解后各项系数都为1或者-1(或0),猜想成立

比如2016年因为只有质因数2，3，7，所以因式分解后所有系数都是1或-1。可以证明小于10和5的所有数论条件都满足。对于105=357，对不起，定理条件无效。105有三个奇数质因数，我们有一个n=105的反例。

Plya conjecture二

这是一个常用的经典超大数产生的反例.

考虑自然序列的质因数分解。

2=2

3=3

4=2 2

5=5

6=2 3

7=7

8=2 2 2

9=3 3

10=2 5

11=11

12=2 x 2 x 3

13=13

14=2x7

15=3x5

16=2x2x2x2

17=17

……

从书写的数字中可以看出，4、6、9、10、14、16s有六个数字。

包括偶数个质因子,剩下的11个数字都包括奇数个质因子.(不区分相同的定性因素)，可以感觉到包括的偶数个质因子的数明显要小一些。也就是说，对于每个正整数2，3，给定不小于2,含偶数个质因数的数的个数小于一半的n是n-1个数。

严格来说，n有素因子分解，所以f(n)取0或1。

Plya猜想

对于每个给定的不小于2，2，3，n，含偶数个质因数的数的个数小于一半是n-1个数中的一个。

也就是

这个猜想适用于1亿之内s数！

反例

不幸地.

Matrix67博客的一段话(补充):

波尔亚猜想似乎很有道理。——每个有偶数个质因数的数都必须经过 有奇数个质因数的。提前。，这个猜想从来没有被一个严格的数学证明过。

1958年，英国数学家C. B. Haselgrove发现了 s的推测是错误的。他证明了存在保利亚猜想的反例，从而推翻了它。

但哈塞尔格罗夫只是证明了反例的存在，并没有计算出这个反例的具体值。

哈塞尔格罗夫估计，这个反例至少也是一个361数字。

1960年，谢尔曼雷曼给出了一个明确的反例n。

= 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的n = 906 150 257。

注

这个反例充分说明，不能随便假定某个猜想是正确的，哪怕它对于很小的数再怎么正确。

数列递推公式三

数列 a(1) = 8，a(2) = 55，并且 a(n)定义为最小的使得

的正整数

来求一求a(n)

8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081, 279942687, 1929384798, 13297456486, 91647010581, 631637678776, 4353291555505, 30003193292641, 206784130187015, 1425170850320396, 9822378297435246,……

定义数列

bn=6kn-1+7bn-2-5bn-3-6bn-4

b1=8,b2=55,b3=379,b4=2612

猜想

对n为正整数，a(n)=b(n)，这个对nlt1000可以验证均成立

反例

当你在OEIS上搜索8, 55, 379, 2612, 18002, 124071, 855106, 5893451, 40618081时，

会蹦出两个结果

在n不超过11056时，a(n)=b(n)

但n=11057时，a(n)!=b(n)

注

本来想给出两个数列的值,发现太大了…

不过可以证明

只要注意到a(n)定义中的最小性即可，b(n)的递推公式可由特征方程给出。

之所以会出现不等是因为k太大时，a(k)太大，造成了中分母过大。

Perrin素数四

尝试寻找到一个简单而高效的素数生成公式一直是人们的理想之一，而素数之类的公式如果要能用简单的数列定义该多好啊。

来看Perrin发现的一个数列

an=an-2+an-3，ngt2

a0=3,a1=0,a2=2

我们来借助OEIS看一下它的值

好像对于素数p，均有a(p)是p的倍数，这件事已经被成功证明了。

反过来,是否有n能整除 Perrin 数列的第 n 项 a(n)，n必须是一个素数。

由上图知道对于不超过30的n其都是成立的

猜想

a(n) 是n的倍数，当且仅当 n 是一个素数。

事实上，对于nlt100000，猜想均成立。

1899 年 Perrin 本人曾经做过试验，随后 Malo 在 1900 年， Escot 在 1901 年，以及 Jarden 在 1966 年都做过搜索，均未发现任何反例。（我觉得大多是因为计算机技术当时不发达…）

反例

直到 1982 年， Adams 和 Shanks 才发现之一个反例 n = 271 441，它等于 521 × 521 ，却也能整除 f(271 441) 。

事实上，我们有一堆不是素数的n使得a(n) 是n的倍数，如

求导不难知其有一个实根ρ,两个共轭复根α、β，可以用二分法来查找零点，估计出1ltρlt2

韦达定理给出

α+β+ρ=1

αβ+αρ+βρ=0

αβρ=1

结合关于ρ的估计我们知道共轭复根α，β模均小于1。

设

A,B,C待定

代入n=0,1,2，结合韦达定理有

当n充分大时,由于α，β模均小于1

这个公式可以让我们估算大的an。事实上，由三次方程求根公式有

ρ≈1.324718

这是一个著名的常数，称为Plastic number

于是a2015大概为

再注

难道我们就没有数列能生成素数么？不不不，考虑an=an-1+gcd(n,an-1 )，a1=7，gcd表示更大公约数。

定义dn=an+1 -an

那么dn每一项均为素数。

Perrin素数

五

Fermat 大定理

当整数n gt2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

1995年已被怀尔斯证明成立，在这之前有无数关于费马大定理的推广猜想

如Euler 曾经猜想

对于k为不小于2的正整数，当 n gt k 时，方程

都没有正整数解。

k=2，即为费马大定理，命题成立

对k=3，也搜索过没有某个xilt10000的正整数解

看起来命题可能成立，好像我们只需要找到更有力的数学工具像费马大定理一样去证明它就可以了。

反例

1.当k=3时，就有反例

如n=4gt3时

方程

就有一个正整数解。

如

1986 年由Noam Elkies 给出。

（并且他非常厉害的给出了构造无限个这个方程的正整数解的 ）

2.最早的且最易接受的反例来自

k=4，n=5时

方程

就有一个正整数解。

如

1966年由Lander 与 Parkin通过计算机(型号为CDC 6600，如下图)给出

（不得不说他们运气也很不错，能够发现一组较小的反例解，如果反例太大当时的计算机肯定无法完成循环搜索）

注

这些反例难道是别人随意就想出来的麽？

数学上，寻找反例并不是仅仅的碰运气，很多时候需要结合很多技巧,考虑如果反例出现，研究其需要满足的必要条件，再去寻找到反例。

对于这个问题，擅长计算的Euler本身自己也做了研究

他发现了恒等式

，这个不符合方程结构，给不出反例；

他也发现了

，可惜这个是n=3，k=3的情况。

我们始终明白这么一个事实，人的计算能力是有限的，所以Euler虽然能够心算到千位数加减乘除，这个反例还是太大了，超过了手工计算的极限。

举个例子，关于方程，如果一个个尝试x,y,z,w，就算每一组数据平均只需要的10秒计算，要测试x,y,z,w上界到达100万的情况，就至少需要10亿亿秒,也就是年!

如果1986年的计算机想要跑数据，也并不能够做这么大的四次循

环。

那么Noam Elkies 是怎么给出构造无穷多个反例的 呢？

用到了代数曲线上的有理点，模函数等知识，做了一些分类讨论，化归成了简单一些的情况

所以这个反例说明了即使寻找反例也要借助较好的数学知识来分析,而不是瞎猜一通。

再注

还有一些类似的美妙的恒等式可以用来给出某些类似的方程的解（来自wiki）

via陆ZZ（知乎）

编辑Jade

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