论作为几何学基础的假设（40多年的一个离散几何问题的解决）

几何分布是离散的还是连续的一个离散几何问题的解决方案40多年了。

本文原文源自EurekAlert网站

翻译作者，阿枪，哆嗒数学网翻译组成员。

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以色列理工学院的蒋子林和莫斯科物理技术学院的亚历山大巴甫洛夫波利安斯基证明了匈牙利数学家拉斯洛费杰斯托特 s区猜想。这个猜想是1973年提出的。它描述了如果一个单位球面被几个条带完全覆盖，那么它们的宽度之和至少为。证明发表在《Geometric and Functional Analysis》期刊上，这对离散几何的形成及其新问题非常重要。

(姜子琳，2007年就读于北京大学数学科学研究所，2011年获得理学学士学位。毕业后，我去卡内基梅隆大学攻读博士学位。现为Seleuc理工学院博士后)

塔尔斯基证明了半径为1的圆不能被宽度小于2(圆的直径)的条带完全覆盖。图像中的每个条形都有自己的长度和颜色。)

离散几何研究点、线、圆、多边形和其他几何体的综合属性。例如，它处理以下问题一个球周围最多可以放置多少个体积相同的球？或者说，如何把某个平面上最多的圆或者某个空间里同样大小的球以最密集的方式放置？

这些问题的解决方案有实际应用。，最密装箱问题有助于优化编码和纠正数据传输中的错误。再比如四色定理，该定理指出四种颜色足以画出任何一个球面地图，使得没有两个相邻区域的颜色相同。它促使数学家引入许多对化学、生物学、计算机科学和物流系统的最新发展至关重要的图论概念。

拉斯洛费杰斯托特球面带猜想与离散几何中的许多其他问题密切相关，这些问题涉及用条带覆盖曲面，并在20世纪得到解决。是所谓的 木板问题 ，它涉及到用平行线组成的长条覆盖圆盘。Tarski和Moese提供了一个简单而优雅的证明，覆盖圆形表面的条带(或板)的宽度不超过圆盘的直径。也就是说，没有比用一块宽度等于圆盘直径的木板盖住圆盘更好的 了。Thgerbang随后解决了用条带覆盖任何凸体的问题。换句话说，他证明了覆盖单个凸体的条带宽度之和，即覆盖凸体的单个条带的最小宽度，至少是物体本身的宽度。

(宽度为的球体部分由黄 域表示。)

作者所处理的问题是不同的，因为它涉及到用特殊构造的面积覆盖一个单位球面。具体地，每个区域是球体和三维平面的交集，其中该平面是包含在两个平行平面之间的空间区域，这两个平行平面相对于球体的中心是中心对称的。或者，可以在测地度量空间中定义一个区域，而不求助于木板单位球面上的宽度区域是距离大圆或赤道不超过/2的一组点，点之间的距离以连接它们的最短弧来度量。数学家必须找到覆盖单位球面的这些条带的最小宽度和。所以这个问题和之前测量宽度的 不同定义为弧的长度，而不是平行线或平面之间的欧氏距离。

姜子霖和Polyanskii提出的证明是受了Bang的启发。他通过在物体中构造一个特殊的有限点集，解决了用一个条带覆盖物体的问题，其中一个点不应该被任何条带覆盖。在某种程度上，邦和作者都提出了相互矛盾的证明。在球面带猜想中，数学家假设完全覆盖单位球面的条带宽度之和小于，并试图找到一个矛盾点——即在球面上找到一个点，而不在任何一个条带中。

作者已经证明，在三维空间中，可以找到一个点集，其中至少有一个点没有被覆盖球面的条带覆盖，因而也不会被这个区域覆盖。如果点集全部位于球面上，就很容易在球面上画出另一个没有被条带覆盖的点。如果 中的任何一点正好在球体之外，则可以用一个与所有较小的条具有相同宽度的较大的条来替换这些较小的条。，在不影响其宽度和的情况下，可以减少初始问题中的杆数。，球面上的点被确定为没有被条带覆盖的点。这与条宽小于的假设背道而驰，证明了球带猜想。

完全覆盖一个球体的条带。这五个区域都有自己的宽度和颜色。)

这个问题在N维空间已经解决了，和三维空间没什么区别，作者说。

Fejes Tth问题40多年来一直吸引着离散几何领域数学家们的关注。 莫斯科物理技术学院离散数学系的作者亚历山大巴甫洛夫波利安斯基说。我们很幸运地找到了这个问题的简明解决方案。Fejes Tth的问题促使我们考虑另一个更基本的猜想球面被定义在球面与三维平面的交线上的运动条带覆盖，这个条带不一定是对称的。

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