三角函数综合难题怎么做(三角函数具体度数的难题)

生活常识 2023-05-15 19:41生活常识www.xinxueguanw.cn

y等于根号下1加x2的定义域是多少 一道必做的三角函数难题

本文分享一道有关三角函数的好题,并给出分析与解答。本文适合高中学历的读者。

引言

最近遇上了一道稍有难度的竞赛题, 巧妙,需要一定的解题技巧,值得反复练习。这道题如下陈述

本题看似只是简单求值问题,但涉及技巧颇高。有兴趣的读者可以先尝试做一做,然后阅读下面的分析以及解答过程。

分析

本题需要一定的三角函数以及代数知识。经观察不难发现,解答本题更大的困难在于处理三角函数值的立方根,这导致和差化积积化和差等三角恒等变形不再奏效。为了很好地处理立方根,我们自然联想到一些很有用的立方公式,其中最有参考价值的是下面这个熟知的恒等式

上面这个恒等式很好地将一些对称多项式联系在了一起。再考虑,三次根号内的三角函数值是否存在关联?是否能够求出以上恒等式中出现的立方和、平方和、乘积等对称多项式的值?此时立即联想到韦达定理,也就是说如果能够构造一个多项式,使得根号内的三个三角函数值是这个多项式的根,那么就能够求出相关的一些对称多项式的值,这就是解决本题的大致思路。

解答

考虑以下方程

这个方程有以下6个复根

根据根之间的关系不难看出,

也就是说这三个三角函数值都能写成 x + 1/x 的形式,我们令 y = x + 1/x,有

将上述方程两边除以 x3 并把上述 y 的式子代入得

这个方程的三个根刚好是

至此,我们已经用多项式将我们需要的三个三角函数值联系在了一起。不过,题目需要我们求的是它们的立方根的和,我们考虑下面的两个恒等式

其中第二个恒等式可以由之一个恒等式换元得到。我们令 X3Y3,Z3 是方程 y3 + y2 - 2y - 1 = 0的三个根,由韦达定理可得

这样一来,上面两个恒等式的左边就确定了,但我们还需要 X + Y + Z 以及 XY + YZ + ZX,我们令 u = X + Y + Z,v = XY + YZ + ZX,并代入恒等式得

我们将两式左边乘左边,右边乘右边,并令 m = uv

这个方程唯一的实根为

进而我们可以求出 u :

那么我们可以最终求出此题的答案

点评

本题的解答很巧妙使用了恒等式以及多项式的根之间的关系,把看似复杂的代数式转化成比较好求的代数式。解答过程看似繁琐,其实掌握了思路都在情理之中,适合反复练习。

三角函数具体度数的难题 高中三角函数难题及答案

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