世界上最难的数学谜题（超顶尖的数学难题）
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马丁加德纳的“不可能的谜题”
由世界著名的数学游戏和谜题创造者马丁加德纳创造的“不可能的谜题”，以下谜题通常被认为是世界上最难的数学谜题。这样做的主要原因是它的简单性。乍一看，似乎没有足够的信息来解决它，但只要有足够的逻辑思维，实际上就可以找到解决方案。
值得指出的是，我们称之为世界上最难的数学谜题，而不是世界上最难的数学问题。这里的区别很重要。当然还有很多更难，在某些情况下甚至是不可能的数学问题需要解决。谜题和问题之间的区别，至少我一直认为，谜题不需要任何高等数学来解决。它应该只使用基础知识就可以解决。这并不是说了解一些高等数学没有帮助，或提供更简洁的解决方案，而只是说它不是必需的。相比之下，学术界目前正在研究的数学问题肯定需要高等数学，而且通常是尚未被发现的数学。
好的，现在是拼图的时候了。自发布以来，出现了几个不同的版本，稍后我将对此进行更多讨论。我一直坚持大多数人认为是原创的东西。
谜题内容
玛丽决定和她的两个儿子山姆和彼得一起玩游戏。她想到两个整数 x 和 y，并告诉她的儿子，这些整数的唯一条件是 1ltxlty 和 x+ylt100。
然后，她告诉 Sam x+y（总和）的值，并告诉 Peter xy（乘积）的值。她没有提供有关这些数字的更多信息。
山姆和彼得随后进行了以下对话。
彼得：我不知道数字是多少。
山姆：我知道你没有。
彼得：哦？好吧，那我确实知道这些数字！
山姆：现在我也是！
x 和 y 的值是多少？
谜题分析
就是这样。这就是整个谜题。如果你和我之一次读到这篇文章时一样，那你就彻底糊涂了。我记得我确信一定有一些信息被遗漏了。在我取得任何进展之前，我花了几天时间断断续续地思考这个问题。我将在下面提供一个解决方案，但我希望你先自己尝试一下，慢慢来。如果标题没有说清楚，这不是一个简单的谜题。
如果您确实觉得自己在解决难题方面毫无进展，或者可能只是需要帮助才能开始，我将在下面分步列出解决方案，以便您可以部分阅读并尝试自己完成。
正如我已经说过的，因为这是一个难题而不是问题，所以它不需要高等数学。所需的数学实际上非常简单，事实上，这个谜题本身只不过是逻辑上的来回，我们在其中不断地努力消除歧义。对于那些已经阅读我文章一段时间的人来说，这绝对是一个挑战“Detective Math E. Matics”的谜题（我还没有想出更好的名字）。
要开始解决方案，最重要的线索可能不是最明显的。是山姆和彼得能够弄清楚这些数字是多少。正如我们将看到的，这并不能保证。事实上，无论是有意还是无意，玛丽都必须非常具体地选择她选择的号码，否则儿子们可能永远找不到。事实上，他们不太可能解决让我们也能解决的难题。
提供解决方案之前的最后说明。正如我已经提到的，这个谜题自首次发布以来已经有几个版本。这些不同版本中唯一值得注意的变化是扩展了 Mary 条件的上限，因此我们不再要求 x+ylt100，而是 x+ylt1000 甚至 x+ylt1000000。事实上，已经证明你可以完全去掉上界，使得唯一的条件是 1ltxlty，并且保持谜题的其余部分不变，它仍然是可解的。我们现在用来解决这个难题的 *** 可以扩展到所有这些版本。
解决方案。
第 1 步。
让我们从彼得的之一个陈述开始：“我不知道数字是多少”。
回想一下，Peter 被告知产品的价值 xy。因此，例如，如果彼得被告知 xy=6，他可以确定（x=2 和 y=3），因为这是唯一的可能性。同样，如果他被告知 xy=33，他就会知道（x=3 和 y=11）。
然而，例如，如果他被告知 xy=30，他无法确定是（x=2 和 y=15）还是（x=3 和 y=10）或（x=5 和 y=6）因为这些都是有效的可能性。关键是，由于彼得不确定这些数字是多少，所以他被告知的产品不可能有一对独特的因素。
更具体地说，乘积 xy 不是使用两个素数形成的！
这是我们的之一个线索。现在让我们继续看 Sam 的之一个陈述。
步骤 2.
Sam 说他知道 Peter 不知道 x 和 y 的值。 这怎么可能？
回想一下，Sam 已被告知总和 x+y 的值。这里需要注意的重要一点是，Sam 事先知道 Peter 不知道 x 和 y 的值。唯一可能的 *** 是，在查看所有可能的值 x 和 y 对时，这些值 x 和 y 为 Sam 提供给定的总和 x+y，但这些值都不是一对素数。
让我们通过一个例子来详细说明。假设山姆被告知 x+y=11。然后，回忆 1ltxlty，Sam 知道可能的解决方案是：
x=2 和 y=9、
x=3 和 y=8、
x=4 和 y=7、
x=5 和 y=6。
这些可能的解决方案中的每一个都有一个关联的产品：
（x=2 和 y=9）? xy=18，
（x=3 和 y=8）? xy=24，
（x=4 和 y=7）? xy= 28，
（x=5 和 y=6）? xy=30。
查看这些产品中的每一个，我们可以注意到它们中的每一个都至少有两对因素，因此 Sam 可以确定 Peter 不会知道解决方案。
例如，如果解是 (x=3 and y=8)，那么 Peter 会被告知 xy=24，但 Peter 将无法知道解是否是 (x=3 and y=8)或（x=2 且 y=12）或（x=4 且 y=6）。
如果您检查上面的其他相关产品，您会发现它们每个确实至少有两对因子。因此，如果 Sam 被告知 x+y=11，他可以确定无论 x 和 y 的值如何，Peter 都无法确定地知道它们。
相反，让我们假设山姆被告知 x+y=7。然后，回忆 1ltxlty，Sam 知道可能的解决方案是：
（x=2 和 y=5），
（x=3 和 y=4）。
这一次，当他查看与解决方案（x=2 和 y=5）相关联的产品时，他知道彼得会被告知 xy=10。有了这些信息，由于唯一可能的解决方案是（x=2 和 y=5）Peter 会立即知道 x 和 y 的值。
关键是，要让 Sam 确定 Peter 不知道 x 和 y 的值，无论告诉 Sam 什么和，所有可能的对（x 和 y）给 Sam 他的和必须有一个相关的产品至少有两对因子。
更具体地说，无论 x 和 y 是什么，它们都不可能都是质数！
您可能会注意到，这与我们从彼得的陈述中得到的线索相同。然而，我们现在知道山姆一定也明白了这一点。而且，有了这条线索，山姆还能做点什么！
从 Sam 可能给出的 3 到 100 之间的所有可能和的列表中，我们可以删除任何可以通过添加两个素数形成的和，例如，18 = 11 + 7。
这样做给我们留下了 24 个可能的值来告诉 Sam：
11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、65、67、71、77、79 , 83, 87, 89, 93, 95, 97。
旁注：您可以通过遍历每个可能的和并检查它是否可以使用两个素数形成来找到此列表，或者，如果您了解一些高等数学，您可以使用像哥德巴赫猜想这样的结果来节省您一些时间。戈德巴克猜想指出，所有大于 2 的偶数都可以通过将两个素数相加得到。虽然这仍然是一个猜想，但它已被证明适用于至少 4 x 101? 的整数，因此我们当然可以用它来删除所有偶数和，从而减少我检查手牌的数字。
请注意，我们只剩下奇数和。这意味着无论 x 和 y 的值是多少，其中一个必须是偶数，另一个必须是奇数。
使用这个观察，并且有点聪明，我们可以通过删除任何大于 53 的和来缩小我们的可能和列表。这样做的原因是，如果我们查看任何大于 53 的可能和，每一个，根据我们的观察，可以表示为 53 和一些偶数的总和。这使我们能够证明，在 x+ylt100 的条件下，与此和相关的乘积将具有唯一的一对因子，因此 Peter 能够计算出我们知道的 x 和 y 的值他不能。
让我们通过一个例子来阐明这一点。假设山姆被告知 x+y=59。那么一个可能的解决方案是 (x=6 y=53) 在这种情况下，Peter 会被告知 xy=318。问题是 Peter 会得出结论，可能的解决方案是：
（x=6 和 y=53）或（x=3 和 y=106）或（x=2 和 y=159）。
在这种情况下，Peter 可以确定解决方案是（x=6 和 y=53），因为其他选项违反了 x+ylt100 的条件。特别地，虽然 318 得到了不止一对因子，但在 x+ylt100 的条件下，只有一对有效。
对于大于 53 的所有可能的和都会出现这种唯一性。这些中的每一个都可以写成 (2n)+(53)，其中 ngt2，因此相关积将是 (2n)(53)。虽然会有不同的表达方式，类似于上面的 318=(2n)(53)=(6)(53)=(3)(106)=(2)(159)，唯一满足的因式分解条件 x+ylt100 是之一个 (2n)(53)，因此表明彼得总是能够计算出 x 和 y。
因此，我们现在可能的总数列表是：
11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53。
第 3 步。
听说 Sam 知道他无法找到 x 和 y 的值，Peter 声称他现在确实知道这些值。这意味着彼得本来可以很容易地执行与我们上面所做的相同的逻辑步骤，从而得出与我们相同的可能和列表，现在他从这个列表中获得了足够的信息来求解 x 和 y。
仅当从乘积 xy 的可能因子列表中，只有一个具有出现在可能和列表中的相关总和时，这才有意义。
例如，假设给彼得的产品是 xy=60。然后他知道两个可能的解决方案是（x=5 和 y=12）或（x=3 和 y=20）。然而，由于这两个解 17 和 23 的相关总和都出现在可能的总和列表中，因此彼得无法断定他确实知道 (x 和 y) 的值。
相反，如果彼得得到的是乘积 xy=18，他就可以查看两个可能的解决方案（x=2 和 y=9）和（x=3 和 y=6），以及它们的相关总和 x +y=11 和 x+y=18，并确定 (x=2 和 y=9) 是唯一可能的解决方案，因为 18 不在可能的和列表中。
这告诉我们，如果我们取每个可能的和（例如 11）并考虑，在条件 xlty 下，可以创建这些和的所有可能的 x 和 y 对（对于 11，这些将是 (2,9) , (3,8), (4,7) 和 (5,6)），最后再列出每一对的关联产品（分别是18、24、28 和 30），我们可以删除其中任何一个如果它们出现在多个列表中，则将这些作为可能的产品告诉彼得。
例如，正如我们在上面看到的，产品不能是 60，因为它会出现在与 17 和 23 相关联的列表中。下面是所有可能产品的表格，重复的产品被划掉了。
因此，彼得可以确定他知道 x 和 y 的值的唯一 *** 是他的产品是否是未被划掉的产品之一。这反过来又告诉他总和的值，这样他就可以计算出 x 和 y。
第 4 步
谜题的最后陈述是Sam 也能够解出 x 和 y。这一定意味着，从我们上面的表格中，Sam 能够确定地得出产品必须是什么的结论。查看我们的表格，很明显 Sam 可以确定相关产品的唯一总和是 17，因为所有其他总和至少有 2 个可能的产品。
因此，我们可以总结我们的谜题并说我们发现 x+y=17 和 xy=52。同时解决这些问题，我们得到了 x=4 和 y=13 的独特解决方案。
所以你有它。世界上最难的谜题“Impossible Puzzle”已经解开。我确信还有其他 *** 可以解决这个问题，我很想听听他们的意见，所以请分享。
我个人只能看到可以做出的小改进，总的来说这些都没有任何大的影响。其中一个例子是，从陈述一开始，除了得出 x 和 y 不可能都是素数的结论之外，我们还可以得出乘积 xy 不可能是素数的立方的结论。此外，它也不能是任何更高幂的素数。使用这些附加信息只能让我们从可能的总和列表中删除 27，因此，正如我所说，它并没有真正的帮助。
如果有人能找到一种 *** 来缩小可能的总和列表，从而避免大表的麻烦，我真的很想听听。
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